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21　二つの古代からの数学問題

　1 ゼノンの逆理――アキレスとカメの競走 top

　キリストが生まれる五百年も前に、ゼノンとよぱれるイタリア人が故国を去ってギリシアヘいき、賢人つまり哲学者の一人について勉強した。
　ゼノンはかなり機知に富む人だったらしく、晩年になって、当時の数学者たちに四つの難問を出してこまらせた。�@
　その一つは競走に関するものだった。彼はいう。
　「二人のランナーのうち、足の遅いほうがたとえ少しでもさきに出発したら、速いほうはけっして遅いほうに追いつくことができないとは、これいかに？　
　なぜなら」とゼノンはつづける、
　「遅いほうが今いるところに、速いほうがついたときには、遅いほうはすでにそこを去って前へ進んでいるだろう。
　だから遅いランナーは、どうしても、いつも先にいるはずだ。」
　この問題は、アキレスとカメとの想像上の競走という、もっとわかりやすい形に変えられた。
　ギリシア神話のアキレスは、知られるかぎり最も足の速い人といわれる（伝説によれば、六歳のときもう走る雄ジカに追いつくことができたという）。
　カメはいうまでもなく、すべての動物のうちで一番足ののろいものの一つだ。
　こうして、以後一千年あまりもつづく古い問題が生まれた。
　たとえば、アキレスがカメの十倍速く走ると仮定し、カメの一〇〇〇メートルあとからスタートしたとしよう。
　いつ彼はカメに追いつくだろうか？　議論はこんなことになる。
　アキレスが一〇〇〇メートル走る間に、カメは一〇〇メートルはうだろう。
　だから、アキレスが一〇〇〇メートル走ってカメの出発点についたとき、カメはもちろんその一〇〇メートル先にいるだろう。
　アキレスがこの一〇〇メートルを走りおえたとき、カメはその間一〇メートルはうから、一〇メートル前にいるだろう。
　アキレスがこの一〇メートルを走ったとき、カメは一メートルはい、なお一メートル前にいるだろう。
　アキレスがこの一メートルを走ったとき、カメはまだ十分の一メートルだけ前にいるだろう。
　さらに、アキレスがこの十分の一メートルを走ったとき、カメは百分の一メートルだけ前にいるだろう。
　これが限りなくつづく。「この論議のどこが間違っているか？」とゼノンはたずねるのだ。
　数学的にはたしかに、アキレスはカメにますます近づくととができるだけで、追いつくことはけっしてできないようにみえる。
　計算してみれば、あるとき彼はカメから一メートル以内にいるだろうし、少しあとにはたとえば一千万の一メートルだけうしろにいるだろう。
　その差はいくらでも小さくなる。
　しかし、たとえ一メートルの何万分の一、何億分の一ではあっても、いつもカメのうしろにいるにちがいない。
　ここ二千年の間に、この問題について多くの論文が書かれ、多くの数学的解決が示唆されてきた。
　この問題はほかの目的には何の役にも立たなかったとはいえ、日常の問題を数学の練習問題として扱うときは、いつも慎重に注意してかからなければならないことを、はっきりと教えてくれた。
　数学者たちは、この競走が、まるではじめ一〇〇〇メートルの競走、次が一〇〇メートルの競走、そのまた次は一○メートルの競走というように、無数の小さい競走が集まってできているみたいに扱ってきた。つま一つ一つの競走は、一〇〇〇メートル、一〇〇メートル、一〇メートル、一メートル、〇・一メートル、○・○一メートル、○・○○一メートル、○・〇〇〇一メートル、○・○○○○一メートル……というふうに、いつまでもつづく。
　これらの距離がだんだんに小さくなり、ついには無限に小さくなることがわかるだろう。
　だからこの問題は、数学的には、これら無限に小さい数を扱わなければならない。
　昔この問題を説明しようとして失敗したあるドイツの教授の例にならうのは、避けたほうが賢明だろう。
　その教授は女王に向かって説明をすすめた。
　女王はすぐにそのむずかしい説明にあきてしまい、自分は無限小について知らなければならないことはすべて知っているといって、説明をうちきらせた。
　なぜなら女王は長年にわたって、廷臣や政治家といった小粒の人間を相手にしなければならなかったのだから！
　ここでは一つだけ説明を加えておく。
　それは、この競走はごく小さな、多数の距離が集まってできているのではなくて、最後まで連続しているということだ。
　ともかく、数学や統計の問題を扱うときには、常識に助けを求めるのがいちぱんよい場合がチョイチョイある。
　常識はもちろん、私たちのふだんの体験からして、速いほうのランナーがすぐに遅いほうに追いつき、追いこすだろうと教える。

　　2 立方体倍積問題 top

　幾何学の問題が最初に広く実習されたのはエジプト、つまりナイル川に接する土地だったと一般にみとめられている。
　この川はたびたび川岸をこえて氾濫（はんらん）し、高地からはこび下ろした泥を三角州に近い原野に堆積する。
　川が氾濫し、泥が堆積すれば、それまでにあった境界のしるしは消えてしまう。
　それで、氾濫がおこるたびに、エジプト人は水がひいたあと、畑の境界線をひきなおさなければならなかった。
　このため、初期のエジプト人は、直線でかこまれた畑をどうやって測量し、その面積をどうやって計算するかを学んだ。
　時がたつとともに、哲学者たちは直線やそれにかこまれた図形、また曲線や円などに大変興味をもつようになった。
　そこで幾何学の研究は実用的である反面、理論的なものにもなり、晢学者たちは直線のふち、つまり定規とコンパスだけを使って、幾何学的方法で問題を解くことに大きい興味をいだいた。
　そういう問題のうち、定規とコンパスを使うだけではけっして解けなかったものの一つが、あたえられた立方体のぴったり二倍の大きさをもつ立方体をえがけ、という問題だ。
　これは数学者には立方体倍積問題として知られている。
　この問題のおこりについてはいろいろな伝説がある。
　その一つによれば、伝説上のクレータ王ミノスには、グラウコスという幼い息子がいた。�A
　一説では、グラウコスが広間で遊んでいたときといい、別の説ではネズミを追っかけていたときというが、ともかく彼は蜂蜜のおけの中におちて窒息した。
　王は占師をよび、乱暴にも、その子を生きかえらせよ、さもなければおまえも子の死体とともに生きながら埋めてしまうぞと命じた。
　占師は少年を生き返らすことができなかったのでいっしょに埋められた。
　しかし墓の中で彼は少年をめざますことができた。少年は気を失っていただけだったのだ。
　そのあと占師は少年を父王に返した。
　物語は、ミノスがこの事件をきっかけとして、自分自身の死について考えるようになったのかどうかはのべていない。
　しかし伝説によれば、子供が死から「取り戻される」とまもなく、彼は自分自身の墓をたてるよう命じた。
　彼は、墓を立方体の形にするよう命令した。
　墓ができあがると、王は検査にいき、非常な不満を示した。
　建築家たちはそんな小さな墓が王侯にふさわしいと考えたのか、王は建築家たちに、墓の大きさを二倍にせよと命じた。
　けれども、立方体の辺の長さを二倍にしたのでは、墓の体積はもとの墓の八倍になってしまって、王が命じた「二倍の大きさ」にはならない。
　そこで建築家たちは、当時の賢人たちに、もとの立方体のぴったり二倍の体積をもつ立方体を　設計するにはどうしたらよいか相談した。
　賢人たちは満足な解答を出すことができなかった。
　それ以来、この問題を定規とコンパスしか使わずに解こうとつとめた数学者は一人のこらず失敗した。

　3 伝染病とアポロの神託 top

　別の伝説によると、立方体倍積問題は、古代ギリシアのデルファイの町からはじまった。�B
　デルファイにある神殿はアポロという神にささげられていた。
　ギリシア人たちは、彼らの多くの神が偉大な力をもち、この世におこるほとんどすべてのことはそれぞれの神に支配されていると信じた。
　たとえば彼らの神アポロは、伝染病を送って人を罰する力をもっていると考えた。
　また、アポロは、もし望むなら、人間からこれらの病気を追いはらうこともできると信じた。
　あるとき、猛烈な伝染病が発生したので、人々は、アポロが人間に対して腹を立てたため罰として伝染病を送ったのだと考えた。
　そこで彼らは指導者をアポロの神殿へ送って、伝染病から救ってくれるよう嘆願することにきめた。
　それぞれの神は自分自身の神殿をもっており、僧または尼僧がその世話をし、人民にかわって神に語りかけ、また神の命令を人民にとりついだ。
　なぜなら神は大変高貴な存在なので、一般人民にはじかに語りかけることはないと思われていたからだ。
　神が僧の口を通して人民に伝える言葉は「神託（しんたく）」とよばれた。
　この伝説によると、ギリシアの指導者たちは、デルフォイのアポロ神殿へ出かけた。
　ここには神聖な尼僧がおり、指導者たちは彼女にたのんで、神に伝染病をなくしてくれるよう嘆願してもらった。
　尼僧が祈ると、アポロは「神託により」人々に告げた。――
　もしも彼らが、現在の祭壇と形は同じだが大きさが二倍の祭壇をつくるならば、伝染病をよそへはこび去るであろう。
　現在ある祭壇は立方体の形をしており、それのぴったり二倍大きい立方体をつくる方法はだれひとり知らなかった。
　そこで彼らはやけになって、ギリシアで最も賢い人プラトンに相談した。
　ある伝説によると、プラトンは彼らにこう教えた。――
　アポロは彼らに、幾何学の最高の才能を必要とする問題を試みさせたかったのではない。
　またとくに、現在の祭壇の二倍の大きさをもつ新しい祭壇を建ててもらいたかったのでもない。
　抻が神託を通していったことの意味は、人民はこれまでよりもっとよく幾何学を勉強してほしいということだったのだ！

出典　
　　　�@　ツェラー『エレアのゼノンのパラドックス』（『哲学』誌第一巻所収）。
　　　　　アリストテレス『物理学』第六巻。
　　　�A　エウトキウス『アルキメデスの「球と円筒について」への注釈』（（イベルタ編）第三巻。
　　　�B　エラｔステネス『スミルナのテオソ』（Ｅ・ヒラー編）第二巻。